پايان نامه رشته رياضي

پايان نامه رشته رياضي

بخشی از متن اصلی :

چکیده

این مقاله بر گرفته از ترجمه دو موضوع در رابطه بادرونیابی یعنی مقدمه ای بر درونیابی چند جمله ای و پدیده رانگ در درونیابی می باشد.در این مقاله با استفاده از تقریب توابع درجه بالا(عمدتا"پیوسته وهموار) به کمک یک سری از چند جمله ای ها و بهینه سازی یک تقریب و محاسبه خطا در تقریب زدن هر تابع و با بکار گیری قضایای موجود در درونیابی مانند لژاندر فرم دقیق تری از توابع درونیاب را می یابیم.در ادامه بحث با استفاده از پدیده رانگ و کار روی شبکه هایی مانند شبکه گاوس-چبیشف و پدیده رانگ سعی در هر چه کوچک تر کردن خطای درونیابی بویژه روی توابع متعامد داریم.درادامه مقاله نیز با بکارگیری بسط ها روی توابع چند جمله ای متعامد وبصورت جزئی تر توابع چند جمله ای ژاکوبی (که در حالات خاص تبدیل به چند جمله ای های لژاندر و چبیشف می شود ) و همگرایی این بسط ها و همچنین نمایش طیفی توابع و خطای بر هم نهی ( ) محاسبه و بهینه سازی می شود .

در خاتمه مقاله دیگری با نگاهی جزئی تر و کاربردی تر توسط یک برنامه کامپیوتری ( )پدیده رانگ در درونیابی و خطاهای خاص بحث می شود .

مقدمه

نظریه اساسی:

تقریب زدن توابع حقیقی(R→R) بوسیله چند جمله ای هاچند جمله ای هاتنها توابعی هستند که کامپیوتر میتواند به طور دقیق ارزیابی و مقدار دهی کرده و روی آنها عملیات مورد نیاز را انجام دهد.

دو نوع روش عددی بر اساس تقریب چند جمله ای:

    روش طیفی :مخصوص توابع با درجه بالا روی یک دامنه منفرد(یا حداکثر تعدادی دامنه)
    روش عناصر متناهی :مخصوص توابع با درجه پایین روی تعداد بیشتری از دامنه ها.

توابعی با مقادیر حقیقی را روی بازه در نظر می گیریم:

    اگر مجموعه ای ازتمام چند جمله ایهای حقیقی بر روی بازه بسته باشد.

می توان استدلال کرد که:

    و (که یک عدد صحیح مثبت است )زیر مجموعه ای از چند جمله ایها با حداکثر درجهN.

آیا تقریب زدن توابع باچند جمله ایهاایده خوبی است ؟

برای توابع پیوسته،جواب مثبت است.

قضیه (وایرشتراس ، 1885)

P یک زیر فضای چگال از فضای ازتمام توابع پیوسته روی بازه است ، که مجهز شده با نرم یکنواخت است.

یک نرم یکنواخت یا نرم ماکسیمم بوسیله   تعریف میشود.

به عبارت دیگر می توان گفت:

برای هر تابع پیوسته مانند ، بر روی ، وهر ، یک چند جمله ای مانند p وجود دارد که در آن             ;

برای هر تابع پیوسته مانند ، برروی ، یک دنباله از چند جمله ای های وجود دارد، که به طور یکنواخت به همگرا خواهد بود.



بهترین تقریب چند جمله ای

برای توابع پیوسته داده شده بهترین تقریب چند جمله ای از درجه ،عبارت است از چند جمله ای که در آن:

قضیه تناوبی چبیشف (یا قضیه هم نوسانی)

برای هر و بهترین تقریب چند جمله ای وجود دارد و یکتاست.

به علاوه نقطه مانند: و.......و و دربازه وجود دارد که درآن:



   یا:

نتیجه :

از تابع در نقطه، درونیابی می کند.

نمایش نموداری قضیه تناوبی چبیشف

2-درونیابی بر روی شبکه ای دلخواه

تعریف: شبکه مجموعه ای از نقطه های در بازه است.