آنالیز تابعی عبارت است از مطالعه چند ساختار توپولوژیک، جبری و روش هایی که با آنها  می توان این ساختار ها را در مسائل تحلیلی به کار گرفت و همچنین شاخه ای از علم ریاضی است که به مطالعه توابع ریاضی و چگونگی عمل کرد عملگر ها بر روی آن توابع و نیز بررسی فضاهای ریاضی مربوط به آن ها می پردازد. یک کتاب مناسب در مبحث آنالیز تابعی باید شامل صورت اصل موضوعی آن (نظریه عمومی فضا های برداری توپولوژیک) بوده، دست کم چند مطلب را با عمق  بیشتر بررسی کرده و چند کاربرد جالب آن در شاخه های دیگر ریاضیات را شامل باشد که کتاب “آنالیز تابعی” اثر والتر رودین، چنین ویژگی هایی را داراست.

این کتاب دارای سیزده فصل می باشد که این فصول به سه قسمت دسته بندی شده. قسمت یک نظریه عمومی ، قسمت دو توزیعها و تبدیلات فوریه ، قسمت سه جبرهای باناخ و نظریه طیفی; بعضی از مطالب که می توان آنها را در نظریه ی عمومی  فضا های برداری توپولوژیک گنجاند حذف شده است به عنوان مثال:  فضا های یکنواخت، تورها و صافی ها، با این حال مطالب قسمت یک (نظریه عمومی) تقریبا برای هر کاربرد در مسائل ملموس مناسب است. بسیاری از برهان ها کوتاه و ساده شده اند و همچنین چند مطلب به این کتاب اضافه شده ، مانند قضیه هیل_یوزیدا راجع به زیر گروه های عملگرها ، یک جفت قضیه نقطه ثابت.

برشی از متن کتاب آنالیز تابعی

بسیاری از مسائل مطرح برای آنالیز دانان عمدتا مربوط به یک شی مانند یک تابع، یک اندازه یا یک عملگر نبوده بلکه راجع به رده های وسیعی از این اشیا می باشد. جالب ترین رده در این باب فضای برداری با اسکالر های حقیقی یا مختلط است. چون در هر مسئله تحلیلی فرایند های حدی (به طور صریح یا ضمنی) نقش دارند، تجهیز این فضا های برداری با متر، یا دست کم توپولوژی، که رابطه ای طبیعی با اشیا سازای فضا ها داشته باشد تعجبی نخواهد داشت. ساده ترین و مهم ترین راه برای این کار معرفی نرم است. ساختار حاصل فضای برداری نرمدار، یا فضای خطی نرمدار، یا فضای نرمدار نامیده می شود. در این کتاب فضای برداری یعنی فضای برداری روی میدان مختلط یا میدان حقیقی R. به خاطر کامل بودن بحث، تعریف های مشروح در بخش ۱٫۴ ذکر خواهند شد.

همانطور که بعدا خواهیم دید ، این فضا ها دارای توپولوژی هایی طبیعی اند که از نرم القا نمی شوند. اینها ، ونیز فضا های نرمدار ، نمونه هایی از فضا های برداری توپولوژیک اند ، مفهومی که سراسر آنالیز تابعی را فرا گرفته است. حال پس از ایجاد این انگیزه مختصر ، تعریف هارا شرح داده و سپس چند نتیجه از فصل ۱ را مرور می کنیم. فضا های باناخ (Banach) یک فضای نرمدار است که نسبت به متر تعریف شده به وسیله نرمش تام می باشد، این یعنی هر دنباله کشی در آن باید همگرا باشد. بسیاری از فضا های تابعی معروف فضا های باناخ اند، از آن جمله می توان فضا های توابع پیوسته بر فضا های فشرده، فضا های L آشنا که در نظریه انتگرالگیری می آیند. فضا های هیلبرت نزدیک ترین خویشاوندان فضا های اقلیدسی، بعضی از فضا های توابع مشتق پذیر، فضا های نگاشت های خطی پیوسته از یک فضای باناخ به دیگری، و جبر های باناخ را نام برد.

همه این فضا ها بعد ها خواهند آمد. اما فضا های مهم دیگری نیز وجود دارنئد که دراین چهارچوب نمی آیند. همانطور که بعد ها خواهیم دید، این فضا ها دارای توپولوژی های طبیعی اند که از نرم القا نمی شوند. اینها و نیز فضا های نرم دار، نمونه هایی از فضا های برداری توپولوژیک اند، مفهومی که سراسر آنالیز تابعی را فراگرفته .