پایان پذیر در طول زمان تبعیت کرد کاربرد این دیدگاه زمانی است که هزینه های استخراج منبع طبیعی را در مسئله وارد کنیم در هر حال قاعده هوتلینگ به صورت زیر تعدیل می‌شود:
معادله 27.5
به طوری که در اینجا قیمت خالص منبع طبیعی یا قیمت منبع طبیعی پس از کسر هزینه استخراج یک واحد منبع طبیعی است. لازم به یادآوری است که هر چند هزینه های استخراج در معادله ( ۲۷.۵) به طور صریح دیده نمیشوند ولی این هزینه ها از طریق تاثیر بر قیمت خالص منبع طبیعی به نوعی در معادله فوق وارد شده‌اند.
شرط کارآیی قاعده هوتلینگ شامل یک جمله اضافی ( ) است نرخ تغییر هزینه کل استخراج نسبت به تغییر سطح موجودی منبع طبیعی است.
بنابراین اگر هزینه های استخراج نهایی با افزایش تخلیه منبع طبیعی افزایش یابد (همان طور که ممکن است هزینه ها به دلیل تنوع کیفیت موجودی منبع طبیعی یا وجود معادن در عمق‌های متفاوت فزاینده) باشد آنگاه 0>CS است. از آنجا که (قیمت سایه ای) سرمایه باید مثبت باشد، لذا جملة منفی خواهد بود. بنابراین نتیجه میگیریم که نرخ افزایش قیمت سایه‌ای منبع طبیعی در حالتی که هزینه های استخراج به مقدار موجودی منبع طبیعی بستگی دارد نسبت به زمانی که مستقل از سطح موجودی منبع باشد کمتر است. فرض کنید هزینه های کل استخراج به جریان منبع طبیعی استخراج شده (R) بستگی داشته ولی به سطح موجودی منبع طبیعی بستگی ندارد در این حالت (طبق مسیر i در نمودار ۴.۵) بوده و هزینه های استخراج از نرخ رشد قیمت خالص منبع طبیعی متأثر نمی شود. تفسیر دیگری از شرط کارآیی قاعده هوتلینگ در معادله (۲۷.۵) خالی از فایده نیست. با مرتب کردن معادله (۲۷.۵) به صورت زیر :
معادله 28.5
روشن است که سمت چپ این معادله هزینه نهایی استخراج یک واحد اضافی منبع طبیعی و سمت راست سود نهایی عدم استخراج یک واحد اضافی منبع طبیعی است بنابراین میتوانیم بگوییم که در نرخ کارآمد (و بهینه) استفاده از منبع طبیعی هزینه های نهایی و منافع استفاده از منبع طبیعی در هر نقطه از زمان باید برابر باشد.
این تفسیر چگونه به دست آمده است؟ ابتدا سمت چپ معادله (۲۸.۵) را ملاحظه کنید. P قیمت خالص منبع طبیعی همان درآمدی است که مالک منبع طبیعی پس از استخراج و فروش آن در دوره جاری به دست می‌آورد. نیز نرخ تنزیل مطلوبیت اجتماعی است، بنابراین بازده مطلوبیت از دست رفته به علت عدم استخراج یک واحد منبع طبیعی در زمان حال و به تأخیر انداختن استخراج آن به دورۀ دیگر است. را گاهی هزینه نگهداری منبع طبیعی می‌نامند.
زیانهای ناشی از استخراج و استفاده از منبع طبیعی تجدید نشدنی
تاکنون به طور ضمنی در این فصل فرض کردیم که هزینه‌های استخراج و استفاده از منابع طبیعی پایان پذیر صفر است نتایج به دست آمده تا زمانی معتبر است که فرضیه های ما صحیح باشد؛ در صورتی که این فرضیه ها عموماً صحیح نیستند. حال باید به بررسی نتایج تعمیم الگو، در حالتی که استفاده از منابع دارای زیانهای زیست محیطی است بپردازیم جهت سادگی فرض می‌کنیم
از آنجا که تجزیه و تحلیل تعمیم یافته به این روش شامل هزینه های خارجی استفاده از منبع طبیعی می شود تعجبی ندارد که ماهیت راه حل بهینه نیز تغییر کند. همان طور که قبلاً یادآور شدیم راه حل کامل مربوط به الگوی عمومی با در نظر گرفتن هزینه های خارجی را در پیوست ۲ همین فصل ارائه کرده‌ایم در اینجا توجه خود را به یک حالت خاص معطوف می‌کنیم در این حالت
تعمیم مسئله به منابع طبیعی تجدیدنشدنی
تا فصل ۷ یک تجزیه و تحلیل کامل از تخصیص منابع طبیعی تجدید شدنی ارائه خواهیم کرد، ولی تا آن هنگام خالی از فایده نیست به روشهایی که میتوانیم تحلیلهایمان را مورد استفاده قرار دهیم بپردازیم برای انجام این کار متذکر میشویم که در فصل حاضر R موجودی محدود و ثابت یک منبع طبیعی پایان پذیر بود. با توجه به مقدار موجودی اولیه ثابت منبع طبیعی،
تعجبی ندارد اگر شرط کارآیی قاعده هوتلینگ بر مسیر زمانی قیمت مؤثر باشد و مجموعه شرایط لازم برای تخصیص بهینه منابع نیز نسبت به وضعیتی که منابع پایان پذیر هستند، متفاوت باشد. لذا قاعدة تعديل شده هوتلینگ به صورت زیر خواهد شد :
برخی ملاحظات نهایی
الگویی که در این فصل بحث خود را براساس آن آغاز کردیم الگویی بود با یک منبع طبیعی پایان پذیر و با ذخیره محدود علاوه بر این فرض کردیم که ذخیره این منبع از نظر کیفی همگن است. البته در عمل هر دو فرض فوق غلط هستند زیرا به جای آنکه تنها یک
سرانجام یادآوری می‌کنیم که تاکنون در تحلیل‌های خود از تابع مطلوبیت (U=U(C استفاده کردیم؛ به عبارت دیگر مطلوبیت را فقط تابع سطح مصرف در نظر گرفتیم، در حالی که سطح مطلوبیت ممکن است تحت شرایطی به سطح موجودی یا مقدار منبع بستگی داشته باشد.
آیا پایان پذیری منابع طبیعی باعث مشکل اقتصادی می‌شود؟
اگر چه ما تنها عناصر اصلی یک الگوی رشد اقتصادی با منابع پایان پذیر را معرفی کردیم بحث های ما تا حدودی ناظر بر این است که چگونه برخی قضایای مطرح شده در آغاز این فصل را میتوان ارزیابی کرد. به ویژه با توجه به اینکه منابع طبیعی پایان پذیر محدود هستند، آیا ادامه مصرف آنها باعث ایجاد مشکل خواهد شد؟ اولین نکته مهم این است که اگر یک منبع طبیعی برای تولید ضروری نباشد، هیچ مشکلی ایجاد نخواهد شد. ادامه مصرف منبع طبیعی قطعاً به اتمام آن منجر می شود
یک مثال کاربردی عددی استخراج نفت و مصرف بهینه جهانی
در این قسمت به ارائه یک مثال عددی ساده و فرضی درباره کاربرد نظرية تعميم يافتة فوق پردازیم احتمالاً راه حل ریاضی ارائه شده در جعبه 2.5 برای شما کمی خسته کننده و کسالت آور خواهد بود، اگر بخواهید از راه حل ریاضی مسئله صرف نظر کنید به جای مطالعه جعبه ۲.۵ فقط به جدول ۱.۵ و نمودار‌های ۸.۵ تا ۱۰.۵ در پایان این قسمت مراجعه نمایید. (برای استخراج جواب مسئله عملاً از روش بهینه سازی پویا استفاده می‌شود این روش در پیوست ۳ ارائه شده است. ولی در اینجا از الگوی زمانی گسسته استفاده کرده ایم.)
علاوه بر این فرض کرده‌ایم که یک فن‌آوری «ایستای رو به عقب» وجود دارد که به عنوان یک نهاده مولد در پایان دوره بهینه سازی t=T جانشین نفت می‌شود این مسئله روشن می‌کند که چرا ST = 0 را در نظر گرفته‌ایمف زیرا زمانی فن‌آوری ایستای رو به عقب جانشین نهاده نفت می شود که ذخایر نفتی تهی شده و به صفر رسیده اند. ما فرض کرده‌ایم
ما نمی توانیم یک راه حل تحلیلی برای این مسئله پیدا کنیم، اما این امکان وجود دارد که مسئله را به صورت عددی و با استفاده از رایانه حل کنیم جدول (1.5) و نمودار‌های ( ۸.۵) تا ( ۱۰.۵) راه حل عددی مسئله را ارائه می‌کند. در نمودار (۸.۵) ملاحظه میکنید که مصرف به صورت تابع نمایی در دوره بهینه سازی افزایش می یابد (نمودار فقط اولین بخش این دوره را از ۱۹۹۰ تا ۲۰۸۰ نشان می دهد). تولید نیز به طور پیوسته افزایش می یابد ولی نرخ رشد در انتهای دوره کندتر شده، زیرا در نقطة شروع (که در نمودار دیده نمی شود)، موجودی سرمایه به سمت صفر میل کرده است، دلیل این امر را قبلاً بیان کردیم.
سؤالات تشریحی
1. آیا در طول زمان سایر نهاده‌های مولد میتوانند جانشین منابع طبیعی تجدید نشدنی بشوند؟ کاربرد‌های احتمالی استفاده کارآمد از کشش