کمیت های مرتبط با ریاضیات مالی مانند قیمت سهام اغلب فرآیندهای تصادفی میباشند. بنابراین داشتن ابزارهایی برای شبیه سازی مسیر چنین فرآیند هایی مهم و اساسی میباشد. در این مطالعه در ابتدا به تعریف دقیق فرآیند و مسیر تصادفی پرداخته شده است. یکی از فرآیندهای تصادفی بسیار مهم در چارچوب کاربردهای ریاضیات مالی حرکت براونی میباشد که در مطالعات بسیاری از کمیت های تصادفی با استفاده از این فرآیند تولید میشوند. در این مطالعه انواع حرکت براونی از جمله حرکت براونی استاندارد، یک بعدی با یک گام تصادفی، حرکت براونی با پل براونی، با ابعاد بالاتر و هندسی مورد بررسی قرار گرفته اند.
رابطه ریاضی اینشتین در مورد حرکت براونی شامل پارامترهایی نظیر اندازه ذره، اندازه مولکول آب، فاصلهای که ذره در زمانی معین طی میکند و اموری از این قبیل میشد. حال، چنانچه کسی مقادیر تمامی این پارامترها به غیر از اندازه مولکول آب را در اختیار داشت، میتوانست به کمک فرمول مزبور اندازه مولکول آب را محاسبه کند و این کاری بود که که ژان باتیست پِرَن، فیزیکدان فرانسوی، در سال ۱۹۰۸ انجام داد. پِرَن ذرات بسیار ریز نوعی صمغ گیاهی را در یک ظرف شیشهای شفاف آب ریخت. این ذرات به واسطه وزن خود به ته ظرف فرو میروند، اما در مقابل بر اثر حرکت براونی به تدریج به سوی بالا رانده میشوند. بدین ترتیب، به کمک معادله اینشتین، میتوان توزیع آماری تعداد ذرات را در اعماق مختلف ظرف محاسبه کرد.
پِرَن با شمارش تعداد ذرات معلق صمغ در اعماق مختلف ظرف آب نه تنها توانست صحت معادله اینشتین را نشان دهد بلکه برای نخستینبار موفق شد ابعاد مولکول آب را نیز محاسبه کند. بدینترتیب مشخص شد که ابعاد مولکول آب و اتمهایی که آن را تشکیل دادهاند در حدود ده میلیونیم میلیمتر است.
فهرست :
مقدمه
تاریخچه
کاربرد حرکت براونی در تحلیل بازار مالی
کاربرد حرکت براونی در بازار سهام
معادلات دینامیکی بهینه با محدودیت های اهرمی
سرمایه گذاری، عدم اطمینان و طرح های ثبات قیمت
حرکت براونی استاندارد یک بعدی توسط گام تصادفی
براونی یک بعدی توسط پل براونی
حرکت براونی هندسی
براونی هندسی با پرش
نتیجه گیری