فصل ششم 
گسترش مدل رگرسيون خطی دو متغيره

 
چکيده :    تا به حال مدلهايي مد نظر بوده است كه داراي عرض از مبدأ بوده‌اند. در اين فصل, مدل رگرسيوني را بررسي مي‌كنيم كه از مبدأ مختصات مي‌گذرد. سپس به واحدهاي اندازه‌‌گيري پرداخته و در نهايت مدل تبعي را مورد بحث قرار مي‌دهيم.   توجه: از آنجا كه عرض از مبدأ شامل متغيرهايي است كه از مدل حذف شده تنها زماني مدل بدون عرض از مبدأ در نظر گرفته مي‌شود كه مدل تصريح كرده باشد.

   ويژگيهاي مدل بدون عرض از مبدأ

1. معادله اول نرمال وجود ندارد:

2. معادله دوم نرمال:                                         

  3.

  اثبات: 
مثال : خط مشخصه تئوري دارايي‌هاي مالي
(1) 

   Yi  = نرخ بازده سالانه  ( % )    
 Xi    = نرخ بازده سالانه ( % ) روي دارايي‌هاي مالي بازار
βi      = ضرايب زاويه
   αi  = جزء عرض از مبدأ

 ( 3 ) مدل با عرض از مبدأ :

 اختلاف عمده‌اي بين نتايج رابطه (2) و (3) وجود ندارد.
حال تأثير تغيير مقياس 2iX و i  Y را بررسي مي‌كنيم :
   ضريب همبستگي خنثي از مقياس اندازه‌گيري است. (R2) درصد همبستگي است كه خنثي از مقياس اندازه‌گيري مي‌باشد. مثال: GPDI بر حسب بيليون دلار و GNP بر حسب ميليون دلار :  GPDI برحسب ميليون دلار و GNP برحسب ميليون دلار:
شكل مطلوب مدل رگرسيون بستگي به هدف مدلساز دارد. 

گاهي اوقات انتظارات تئوري قبلي يا نتايج تجربي يا هر دو دلالت بر آن دارند كه خط رگرسيون از مبدأ مختصات عبور مي‌كند. 
در مدل بدون عرض از مبدأ مجموع خطاها صفر نمي‌باشد. 
در مدل بدون عرض از مبدأ R2 مي‌تواند منفي نيز باشد لذا كاربرد اين مدل مستلزم اعمال احتياطاتي است.
ضرايب رگرسيوني ممكن است بر اثر تغيير واحدهايي كه بر حسب آنها متغيرهاي X و Y بيان شده‌اند, تحت تأثير قرار بگيرند. 
مدل خطي رگرسيون بر اساس هدف مدلساز تبيين مي‌شود. 

اثبات :

در مدل با عرض از مبدأ:
                
در مدل بدون عرض از مبدأ:
        
        در اين مدل هميشه RSS كوچكتر ازTSS  نمي‌باشد به عبارتي RSS مي‌تواند ازTSS بزرگتر باشد در نتيجه  R2 مقداري منفي اختيار مي‌كند.