۱. مفاهیم پایه

• آزمایش تصادفی (Random Experiment): آزمایشی که نتیجه‌ش از قبل قابل پیش‌بینی نیست. مثل پرتاب سکه یا تاس.

• فضای نمونه (Sample Space): مجموعه همه نتایج ممکن. مثلاً برای یه تاس: {۱,۲,۳,۴,۵,۶}.

• پیشامد (Event): زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه. مثلاً «آمدن عدد زوج» = {۲,۴,۶}.

۲. تعریف احتمال

• تعریف کلاسیک: تعداد نتایج مطلوب تقسیم بر تعداد کل نتایج ممکن (اگه همه نتایج هم‌شانس باشن).

• تعریف فرکانسی: نسبت تعداد دفعات وقوع یه پیشامد به تعداد کل آزمایش‌ها، وقتی تعداد آزمایش‌ها خیلی زیاد بشه.

• تعریف ذهنی: درجه باور شخصی به وقوع یه پیشامد.

۳. قوانین اصلی

• قانون جمع: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

• قانون ضرب: P(A∩B)=P(A)×P(B∣A)P(A∩B)=P(A)×P(B∣A)

• احتمال شرطی: P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A∣B)=P(B)P(A∩B)​ (احتمال A به شرط اینکه B رخ داده)

• پیشامدهای مستقل: اگه P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A∩B)=P(A)×P(B) باشه، A و B مستقل هستن.

۴. متغیرهای تصادفی (Random Variables)

• گسسته (Discrete): مقادیر قابل شمارش داره. مثل تعداد شیر در ۱۰ بار پرتاب سکه.

• پیوسته (Continuous): مقادیر در یه بازه پیوسته داره. مثل قد یا وزن افراد.

• تابع احتمال (PMF/PDF): احتمال هر مقدار رو مشخص می‌کنه.

• تابع توزیع تجمعی (CDF): احتمال اینکه متغیر تصادفی از یه مقدار مشخص کمتر باشه.

۵. توزیع‌های مهم

توزیع

نوع

مثال

برنولی

گسسته

پرتاب سکه

دوجمله‌ای

گسسته

تعداد موفقیت در n آزمایش

پواسون

گسسته

تعداد تماس در یه ساعت

نرمال (گاوسی)

پیوسته

قد، نمره امتحان

نمایی

پیوسته

زمان بین دو رویداد

یکنواخت

هر دو

پرتاب تاس سالم

۶. قضایای مهم

• قانون اعداد بزرگ: با افزایش تعداد آزمایش‌ها، میانگین نتایج به امید ریاضی (Expected Value) نزدیک‌تر میشه.

• قضیه حد مرکزی (Central Limit Theorem): مجموع تعداد زیادی متغیر تصادفی مستقل با توزیع یکسان، تقریباً توزیع نرمال داره. این قضیه خیلی از روش‌های آماری رو توجیه می‌کنه.

۷. کاربردها

• یادگیری ماشین و هوش مصنوعی: مدل‌های احتمالاتی مثل بیز ساده و شبکه‌های بیزین.

• مالی و اقتصاد: مدیریت ریسک، قیمت‌گذاری اختیار معامله.

• مهندسی: قابلیت اطمینان، کنترل کیفیت.

• پزشکی: تشخیص بیماری، کارآزمایی بالینی.

• فیزیک: مکانیک کوانتوم، ترمودینامیک آماری.

•