بررسي ايستايي (ساكن بودن) سري هاي زماني[1]

قبل از تخمين مدل، به بررسي ايستايي مي پردازيم. مي توان چنين تلقي نمود كه هر سري زماني توسط يك فرآيند تصادفي توليد شده است. داده هاي مربوط به اين سري زماني در واقع يك مصداق از فرآيند تصادفي زير ساختي است. وجه تمايز بين (فرآيند تصادفي) و يك (مصداق) از آن، همانند تمايز بين جامعه و نمونه در داده هاي مقطعي است. درست همانطوري كه اطلاعات مربوط به نمونه را براي استنباطي در مورد جامعه آماري مورد استفاده قرار مي دهيم، در تحليل سريهاي زماني از مصداق براي استنباطي در مورد فرآيند تصادفي زير ساختي استفاده مي كنيم. نوعي از فرآيندهاي تصادفي كه مورد توجه بسيار زياد تحليل گران سريهاي زماني قرار گرفته است فرآيندهاي تصادفي ايستا مي باشد.

براي تاكيد بيشتر تعريف ايستايي، فرض كنيد Y_t يك سري زماني تصادفي با ويژگيهاي زير است:

(1)                                                                        : ميانگين

(2)                                                                   واريانس :

(3)                                    كوواريانس :

(4)                         ضريب همبستگي :

كه در آن ميانگين ، واريانس  كوواريانس  (كوواريانس بين دو مقدار Y كه K دوره با يكديگر فاصله دارند، يعني كوواريانس بين Y_t و Y_t-k) و ضريب همبستگي  مقادير ثابتي هستند كه به زمان t بستگي ندارند.

اكنون تصور كنيد مقاطع زماني را عوض كنيم به اين ترتيب كه Y از Y_t به Y_t-k تغيير يابد. حال اگر ميانگين، واريانس، كوواريانس و ضريب همبستگي Y تغييري نكرد، مي توان گفت كه متغير سري زماني ايستا است. بنابراين بطور خلاصه مي توان چنين گفت كه يك سري زماني وقتي ساكن است كه ميانگين، واريانس، كوواريانس و در نتيجه ضريب همبستگي آن در طول زمان ثابت باقي بماند و مهم نباشد كه در چه مقطعي از زمان اين شاخص ها را محاسبه مي كنيم. اين شرايط تضمين مي كند كه رفتار يك سري زماني، در هر مقطع متفاوتي از زمان، همانند مي باشد[2].

آزمون ساكن بودن از طريق نمودار همبستگي و ريشه واحد[3]

يك آزمون ساده براي ساكن بودن براساس تابع خود همبستگي (ACF) مي باشد. (ACF) در وقفه k با  نشان داده مي شود و بصورت زير تعريف مي گردد.

از آنجاييكه كوواريانس و واريانس، هر دو با واحدهاي يكساني اندازه گيري مي‌شوند،  يك عدد بدون واحد يا خالص است.  به مانند ديگر ضرايب همبستگي، بين (1-) و (1+) قرار دارد. اگر  را در مقابل K (وقفه ها) رسم نماييم، نمودار بدست آمده، نمودار همبستگي جامعه ناميده مي شود. از آنجايي كه عملاً تنها يك تحقق واقعي (يعني يك نمونه) از يك فرآيند تصادفي را داريم، بنابراين تنها مي‌توانيم تابع خود همبستگي نمونه،  را بدست آوريم. براي محاسبه اين تابع مي‌بايست ابتدا كوواريانس نمونه در وقفه K و سپس واريانس نمونه را محاسبه نماييم.

كه همانند نسبت كوواريانس نمونه به واريانس نمونه است. نمودار  در مقابل K نمودار همبستگي نمونه ناميده مي شود. در عمل وقتي  مربوط به جامعه را ندايم و تنها  را براساس مصداق خاصي از فرآيند تصادفي در اختيار داريم بايد به آزمون فرضيه متوسل شويم تا بفهميم كه  صفر است يا خير. بارتلت (1949)[4] نشان داده است كه اگر يك سري زماني كاملاً تصادفي يعني نوفه سفيد باشد، ضرايب خود همبستگي نمونه تقريباً داراي توزيع نرمال با ميانگين صفر و واريانس  مي باشد كه در آن n حجم نمونه است. براين اساس مي توان يك فاصله اطمينان، در سطح 95 درصد ساخت. بدين ترتيب اگر  تخميني در اين فاصله قرار گيرد، فرضيه(=0) را نمي توان رد كرد. اما اگر  تخميني خارج از اين فاصله اعتماد قرار گيرد مي توان صفر بودن  را رد كرد.

آزمون ديگري نيز بصورت گسترده براي بررسي ايستايي سريهاي زماني بكار مي‌رود كه به آزمون ريشه واحد معروف است. براي فهم اين آزمون مدل زير را در نظر بگيريد[5]:

Y_t = Y_t-1+U_t

U_t جمله خطاي تصادفي است كه فرض مي شود بوسيله يك فرآيند تصادفي مستقل (White Noise) بوجود آمده است. (يعني داراي ميانگين صفر، واريانس ثابت  و غير همبسته مي باشد).

خواننده مي تواند تشخيص دهد كه معادله فوق، يك معادلخ خود رگرسيون مرتبه اول يا AR(1) مي باشد. در اين معادله مقدار Y در زمان t بر روي مقدار آن در زمان (t-1) رگرس شده است. حال اگر ضريب Y_t-1 برابر يك شود مواجه با مساله ريشه واحد مي شويم. يعني اين امر بيانگر وضعيت غير ايستايي سري زماني Y_t مي باشد. بنابراين اگر رگرسيون زير را اجرا كنيم:

و تشخيص دهيم كه  است، گفته مي شود متغير Y_t داراي يك ريشه واحد است. در اقتصاد سنجي سريهاي زماني، سري زماني كه داراي يك ريشه واحد باشد، نمونه‌اي از يك سري زماني غير ايستا است.